Моро родом из Солина, который входит в городскую агломерацию Сплита. Начал заниматься футболом в местном «Хайдуке», но в итоге стал выпускником академии загребского «Динамо». В 15 лет Никола с партнёрами выиграли неофициальный чемпионат мира среди юношеских команд, в котором через год победили московские динамовцы.

Дебютировал во взрослом футболе в сезоне-2015/16, а уже через год стал одним из ключевых игроков команды. За четыре полноценных сезона провёл 114 матчей и забил 10 голов, чем помог команде завоевать 4 титула чемпиона Хорватии и 2 Кубка страны.

В августе 2020 года Никола Моро заключил с московским «Динамо» контракт на пять лет. В октябре забил свой первый гол в матче с ЦСКА.

За юношеские и молодёжную сборную Хорватии провёл больше 50 матчей. В главной сборной страны дебютировал в марте 2022 года.