Иван Будачёв родился в Санкт-Петербурге. Футболом начал заниматься в возрасте пяти лет в «Коломягах», через год перешёл в СШОР «Зенит». Поначалу выступал на позиции нападающего, но на одном из товарищеских матчей попросился встать в ворота и с этого момента стал голкипером.

Первый тренер — Алексей Поликанов, который в 1958 году был в составе московского «Динамо», где познакомился с Львом Яшиным. В своей работе часто ставил в пример Льва Ивановича, который стал для Будачёва одним из кумиров.

По окончании школы подписал контракт с командой ПФЛ «Ленинградец», где через полгода стал основным голкипером. Всего за клуб из Санкт-Петербурга провёл во всех турнирах 27 матчей и пропустил 21 мяч (13 игр на ноль).

Регулярно вызывался в юношеские сборные России (U17 и U19), где также являлся твёрдым первым номером. В июне 2021 года дебютировал в составе молодёжной сборной.

13 октября 2020 года стал игроком московского «Динамо».