Футболом Дмитрий Скопинцев начал заниматься в Воронеже — четыре года обучался в СДЮШОР №15. В 2011 году был замечен селекционерами «Динамо» на турнире МОА «Черноземье» и переехал в Москву. В академии имени Льва Яшина занимался, в том числе, под руководством Кирилла Новикова.

За дубль бело-голубых футболист сыграл всего 2 матча, после чего перешёл в «Зенит» и провёл один сезон в молодёжной команде санкт-петербургского клуба. Затем уехал в немецкий «РБ Лейпциг», который отдал его в аренду в «Лиферинг».

Скопинцев провёл один сезон в австрийской первой лиге, после чего вернулся в Россию и подписал контракт с «Ростовом». После дебюта в чемпионате России в октябре 2016 года Дмитрий отправился в аренду в калининградскую «Балтику». В ней он за год забил 11 мячей и сделал 6 результативных передач.

По возвращении в «Ростов» стал игроком основного состава, а в феврале 2019 года был выкуплен «Краснодаром». Дмитрий Скопинцев принял участие в 17 матчах краснодарцев и забил два гола, а в январе 2020 года вернулся в «Динамо» по приглашению Кирилла Новикова.

В своём третьем матче в составе бело-голубых футболист забил гол в ворота «Ахмата».