Диего родился в Монтевидео и в 10 лет пришёл в академию местного клуба «Дефенсор Спортинг». После её окончания он дебютировал за основную команду в 19-летнем возрасте. 

В 2013 году в составе молодёжной сборной Уругвая занял третье место на чемпионате Южной Америки, а также стал финалистом чемпионата мира, где его команда уступила французам. По итогам года попал в число номинантов престижной премии Golden Boy, которую выиграл Поль Погба.

После чемпионата мира перешёл в миланский «Интер», но большую часть времени провёл в арендах: в «Болонье», «Эмполи» и «Дженоа». В последнем клубе проявил себя наиболее успешно и в 2016 году подписал полноценный контракт. Всего в генуэзском клубе провёл 3,5 года.

После удачного выступления на чемпионате мира в России в составе сборной Уругвая Лаксальт перешёл в «Милан», где провёл полноценный сезон, после чего был отдан в аренду в «Торино». Всего в серии А сыграл в 170 матчах, забил 9 мячей и сделал 12 результативных передач.

Сезон-2020/21 провёл в аренде в «Селтике», выиграв с ним Кубок Шотландии.

22 июня 2021 года Диего подписал с бело-голубыми соглашение на три года с возможностью продления ещё на один сезон.