В детстве занимался мини-футболом в школьной секции. В возрасте 9 лет успешно прошёл просмотр в динамовской академии. Первым тренером юного вратаря стал Владимир Васильевич Бодров.

Через год Лещук стал основным голкипером команды 1996 года рождения. В одном из розыгрышей первенства Москвы он пропустил за весь турнир лишь один мяч, причём забит он был уже в первом туре.

В сентябре 2012 года Игорь Лещук дебютировал в молодёжном первенстве России, а летом 2014-го впервые отправился на предсезонные сборы с основой. В ноябре 2016 года футболист провёл свой первый из пяти матчей за молодёжную сборную России.

10 мая 2017 года дебютировал в основе «Динамо», сыграв на ноль в выездной встрече против «Сокола». В следующий раз в воротах главной команды Игорь Лещук появился в сентябре и снова не позволил сопернику забить в кубковом матче против «Спартака-Нальчика» (пропустил лишь в серии послематчевых пенальти).

В следующем сезоне футболист провёл два матча в Кубке России. В Премьер-лиге дебютировал в 5-м туре сезона-2019/20, выйдя на замену вместо травмированного Антона Шунина в игре с «Зенитом». Всего до конца чемпионата вратарь принял участие в 8 играх, в которых пропустил 9 мячей.