Арсен Захарян родился в 2003 году в Самаре. Пошёл по стопам старшего брата Давида и начал заниматься футболом в возрасте шести лет в детской команде «Крыльев Советов»: его брат закончил самарскую академию и выступал в молодёжном первенстве за дубль «Крыльев».

Сам Арсен позднее оказался в тольяттинской академии имени Юрия Коноплёва, откуда после яркого выступления на чемпионате России в 2017 году перебрался в академию «Динамо».

В Москве Захарян тренировался под руководством Виталия Гришина и Дмитрия Половинчука. Является победителем Кубка РФС-2017 среди юношеских команд клубов Премьер-лиги, годом позже начал вызываться в юношескую сборную России.

В сезоне-2019/20 Захарян начал играть за бело-голубых в Юношеской футбольной лиге (11 игр, 5 голов), а зимой прошёл сборы с «молодёжкой», которой весной помог завоевать золотые медали (3 матча, 2 гола).

В октябре 2020 года Арсен был включен британским изданием The Guardian в список 60 самых талантливых футболистов мира, родившихся в 2003 году.

Сезон-2020/21 начал в «Динамо-2», а в ноябре дебютировал в основном составе в выездной игре против «Тамбова». 28 февраля 2021 года забил первый гол за «Динамо» в выездной встрече РПЛ с «Ахматом» из Грозного, ставший для команды победным. В сезоне-2021/22 был признан лучшим молодым игроком РПЛ.

В марте 2021 года дебютировал в составе молодёжной сборной России на чемпионате Европы. В первом матче турнира забил мяч, став самым молодым автором гола финальных турниров молодёжного Евро. В сентябре того же года провёл свой первый матч за главную сборную страны.