Антон Шунин родился в Москве в семье потомственных болельщиков московского «Динамо». Начал заниматься футболом в 1994 году в СДЮШОР «Динамо». Помимо футбола будущий голкипер бело-голубых вместе с братом Евгением пробовал свои силы в настольном и большом теннисе.

Первым тренером Шунина был Владимир Владимирович Козлов. Большое влияние на его становление как вратаря оказали Валерий Клеймёнов, Николай Гонтарь и Сергей Овчинников.

В 2002 и 2003 годах становился победителем турнира дублёров с командой под руководством Сергея Силкина. В то же время начал привлекаться в юношеские сборные России и Москвы.

В основном составе «Динамо» дебютировал в матче чемпионата России против «Химок» 21 апреля 2007 года, а спустя четыре месяца впервые вышел в составе главной национальной команды в игре с поляками. По итогам года победил в номинации «Открытие сезона». В 2008 году стал бронзовым призёром чемпионата России, а в сезоне-2011/12 сыграл 17 матчей на ноль и вышел в финал Кубка страны.

Окончательно закрепил за собой статус первого номера бело-голубых в сезоне-2016/17, в котором также стал капитаном команды. В сентябре 2020 года в матче с «Ахматом» провёл сотый сухой матч за «Динамо», а в апреле 2022-го вошёл в Клуб Льва Яшина.

Является рекордсменом «Динамо» по количеству матчей в российской истории.

В июне 2021 года в составе сборной России принял участие в чемпионате Европы.